Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[

π

2

，

3

2

π]
（1）求|

a

+

b

|的取值范围；
（2）求函数f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|的最小值，并求此时x的值．

Answer 1

（1）∵x∈[

π

2

，

3

2

π]，∴-1≤cos2x≤1，
∴|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

．
∴0≤|

a

+

b

|≤2．　　（4分）
（2）∵x∈[

π

2

，

3

2

π]，∴-1≤cosx≤0． …（6分）
∵f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|=cos2x-

2+2cos2x

=2cos2x-1-

4cos2x

=2cos2x+2cosx-1，…（10分）
∴当cosx=-

1

2

，即x=

2

3

π或x=

4

3

π时，f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|取最小值-

3

2

．…（12分）