题目内容

已知点A（-1，0），B（0，2），点P是圆（x-1）²+y²=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是

A.
2
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：当过P点的直线与AB平行且与圆相切时，切点P为△PAB面积的最大值时动点的位置，由A与B的坐标求出直线AB的斜率为2，进而得到切线的斜率也为2，确定出切线的方程，然后由A与B两点写出直线AB的方程，根据平行线间的距离公式求出AB与切线间的距离即为三角形ABP中AB边上的高，利用两点间的距离公式求出|AB|的长，利用三角形的面积公式即可求出此时△PAB面积，此时的面积即为最大值．
解答：

解：根据题意画出图形，如图所示：
由直线AB的斜率k_AB= $\text{[math]}$ =2，
得到过P与AB平行且与圆相切的直线斜率k=2，
设该直线的方程为：y=2x+b，
又圆心坐标为（1，0），半径r=1，
所以圆心到直线的距离d= $\text{[math]}$ =r=1，
即b= $\text{[math]}$ -2（舍去）或b=- $\text{[math]}$ -2，
故该直线方程为：y=2x- $\text{[math]}$ -2，
又直线AB的方程为：y=2（x+1），即y=2x+2，
所以两平行线的距离为 $\text{[math]}$ ，|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则△PAB面积的最大值是 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题的考点是点到直线的距离公式、圆方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，考查三角形的面积，考查了数形结合的数学思想．当过一点于圆相切且与直线AB平行，此时切线与圆的切点为△PAB面积取得最大值时动点P的位置，找出此点是解本题的关键．