题目内容

已知O为坐标原点，向量
OA
=(sinα，1)，
OB
=(cosα，0)，
OC
=(-sinα，2)，点P满足
AB
=
BP
．
（Ⅰ）记函数f(α)=
PB
•
CA
，求函数f（α）的最小正周期；
（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求|
OA
+
OB
|的值．
（Ⅰ）∵
OA
=(sinα，1)，
OB
=(cosα，0)，
OC
=(-sinα，2)
∴
AB
=(cosα-sinα，-1)，
CA
=(2sinα，-1)
设
OP
=(x，y)，则
BP
=(x-cosα，y)，
由
AB
=
BP
得，
x=2cosα-sinα
y=-1
，
故
OP
=(2cosα-sinα，-1)，则
PB
=(sinα-cosα，1)，
∴f（α）=（sinα-cosα，1）•（2sinα，-1）
=2sin2α-2sinαcosα-1
=-（sin2α+cos2α）
=-
2
sin(2α+
π
4
)
∴f（α）的最小正周期T=π．
（Ⅱ）由O，P，C三点共线可得：
OP
∥
0C

则（-1）×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
解得tanα=
4
3
，
∴sin2α=
2sinαcosα
sin2α+cos2α
=
2tanα
1+tan2α
=
24
25
，
∴|
OA
+
OB
|=
(sinα+cosα)2+1

=
2+sin2α
=
74
5
．
练习册系列答案
相关题目
（2010•黄冈模拟）已知O为坐标原点，向量
OA
=（sinα，1），
OB
=（cosα，0），
OC
=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段
AP
的比为1．
（1）记函数f（α）=
PB
•
CA
，α∈（-
π
8
，
π
2
），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求|
OA
+
OB
|的值．
已知O为坐标原点，
OA
=(2sin2x，1)，
OB
=(1，-2
3
sinxcosx+1)，f(x)=-
1
2
OA
•
OB
+1．
（1）求y=f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移
π
6
个单位后，所得图象对应的函数为g（x），且α∈[
π
6
，  
2π
3
]，  β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，g(α)=
3
5
，  g(β)=-
4
5
，求cos2（α-β）-1的值．
已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1．
（1）记函数f（α）=•，α∈（-，），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．
已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1．
（1）记函数f（α）=•，α∈（-，），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．

(本小题满分12分) (Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问5分.)

已知O为坐标原点，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1.

(1)记函数f(α)＝·，α∈，讨论函数f(α)的单调性，并求其值域；

(2)若O、P、C三点共线，求|＋|的值．

 

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