Question

【题目】定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据4个命题，依次求出M，解方程求得x1，x2，运用函数的单调性和特殊值法，判断是否存在x1＜x2，即可得到结论．

对于①，易得M＝1，k＞1，有21＝k，

即为，＝log2（k+1），

当k＝100时，log2（k+1），

即不存在＜．

对于②，，得m=M＝1，只需检验m=1时，是否符合题意，

k＞1，有2＝1+ln＝k，

即为，＝ek﹣1，

即有ek﹣1k＜e2k﹣2，

由x＞1时，x﹣e2x﹣2的导数为1﹣2e2x﹣2＜0，

即有x＜e2x﹣2，则存在＜；∴m=1满足题意

对于③，易得M＝1，k＞1，有2＝2k，

即为，，

当k＝4，不存在＜x2．

对于④，由题意

又时，存在，取t=m+,此时，且k>,

有2＝k，

即为，，令g（k）==，k>, ∴，

∴g（k）在（）单调递减，∴g（k）<g（）=,又t=m+, ∴g（）=0，

即g（k）<0，∴<，

故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有②④

故选：B．