题目内容

已知△ABC中，
AB
=(-
3
sinx，sinx)，
AC
=(sinx，cosx)
（1）设f(x)=
AB
•
AC
，若f（A）=0，求角A的值；
（2）若对任意的实数t，恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，求△ABC面积的最大值．
分析：（1）利用数量积公式求得f（x）=sin(2x+
π
3
)-
3
2
，再由 f（A）=0求得sin(2A+
π
3
)=
3
2
，故有A=
π
6
．
（2）由 |
AB
-t
AC
|≥|
BC
| 可得BC⊥AC，再由|
AB
|=
4sin2x
≤2，|
AC
|=1，求得BC≤
3
，由此根据△ABC面积S = 
1
2
 BC •AC求得它的最大值．
解答：解：（1）∵f(x)=
AB
•
AC
=-
3
sin2x+sinxcosx=-
3
1-cos2x
2
+
sin2x
2
=sin(2x+
π
3
)-
3
2
 
∵f（A）=0=sin(2A+
π
3
)=
3
2
，且2A+
π
3
∈(
π
3
，2π+
π
3
)，∴A=
π
6
．（7分）
（2）∵|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，故点B到直线AC的最短距离为BC，∴BC⊥AC．
∵|
AB
|=
4sin2x
≤2，|
AC
|=1，∴由勾股定理可得 BC=
AB2-AC2
≤
4-1
=
3
，
故△ABC面积S = 
1
2
 BC •AC ≤
3
2
，
故△ABC面积的最大值为
3
2
．（14分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，AC=3
2
，则△ABC的面积为
6
6
．
（2009•辽宁）选修4-1：几何证明讲
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧
AC
上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+
3
，求△ABC外接圆的面积．
（2009•大连一模）已知△ABC中，AB=2，AC=
3
，∠B=60°，则∠A的度数为
30°
30°
．
已知△ABC中，AB=1，BC=2，则角C的取值范围是
 
．
定义平面向量的正弦积为
a
•
b
=|
a
||
b
|sin2θ，（其中θ为
a
、
b
的夹角），已知△ABC中，
AB
•
BC
=
BC
•
CA
，则此三角形一定是（　　）
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、锐角三角形
D、钝角三角形

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