题目内容

20.如图1,已知矩形ABCD中,AB=2,AD=2$\sqrt{2}$,E,F分别是AD,BC的中点,对角线BD与EF交于O点,沿EF将矩形ABFE折起,使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°.在图2中:
(1)求证:BO⊥DO;
(2)求平面DOB分割三棱柱AED-BFC所得上部分的体积.

分析 (1)利用勾股定理分别求出OD,OB,BD,利用勾股定理的逆定理即可证出结论;
(2)截面上部分是一个四棱锥D-ABOE,底面为直角梯形,高为底面等边三角形的高.

解答 (1)证明:∵BF$\stackrel{∥}{=}$DE,∴△OED≌△OFB,
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$AB=1,OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$,连结BC,BD,
∵EF⊥BF,EF⊥CF,∴∠BFC为平面ABFE与平面EFCD所成角,
∴∠BFC=60°,又BF=BC,
∴△BFC是等边三角形,∴BC=BF=$\sqrt{2}$,
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$.
∴OD2+OB2=BD2
∴BO⊥DO.
(2)解:取AE的中点H,连结DH,则DH⊥平面ABFE,且DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AE$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
∴VD-ABOE=$\frac{1}{3}$S梯形ABOE•DH=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×(1+2)×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

点评 本题考查了棱柱的结构特征,二面角的定义,棱锥的体积计算,属于基础题.

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