Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点A求椭圆的方程；
（Ⅱ）若平行于CO的直线l和椭圆交于M，N两个不同点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，左顶点A（，AC⊥CO，|AC|=|CO|．a²=12，C（）再由C在椭圆上知b²=4，由此能导出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率为-1，设直线l的方程为y=-x+m，代入得4x²-6mx+3m²-12=0，由题设条件能导出|MN|==，又C到直线l的距离d==，所以△CMN的面积S===2，由此能求出直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，
∵左顶点A（，AC⊥CO，|AC|=|CO|．
∴a²=12，C（），（第三象限的点相同，可以不考虑）（2分）
又∵C在椭圆上，∴，∴b²=4，（4分）
∴椭圆的标准方程为．（5分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若CO的斜率为-1，
则设直线l的方程为y=-x+m，代入得4x²-6mx+3m²-12=0，（6分）
（7分）
∴|MN|==，（8分）
又C到直线l的距离d==，（9分）
∴△CMN的面积S==（10分）
=2，（11分）
当且仅当m²=16-m²时取等号，此时m=满足题中条件，（12分）
∴直线l的方程为．（13分）
当点C在第三象限时，由对称可知：直线l的方程为（14分）
点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．