题目内容
已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
，求椭圆的方程．
| 10 | 11 |
分析：先设椭圆方程的方程，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=
，可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求m，n的值，从而可确定椭圆方程．
| 10 |
| 11 |
解答：解析：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0），
依题意，点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的坐标满足方程组
解之并整理得（m+4n）x2+4nx+n-1=0
所以：x1+x2=-
，x1x2=
①
由OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+（2x1+1）（2x2+1）=0，5x1x2+2（x1+x2）+1=0
∴5×
+2×
+1=0，∴m+n=5 ②
又由|PQ|=
∴|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=
∴（x1-x2）2+（2x1-2x2）2=
，
∴5（x1+x2）2-20x1x2=
，（x1+x2）2-4x1x2=
，③
由①②③可得：19n2-98n+120=0
∴n=2或n=
，m=3或m=
故所求椭圆方程为3x2+2y2=1，或
+
=1．
依题意，点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的坐标满足方程组
|
解之并整理得（m+4n）x2+4nx+n-1=0
所以：x1+x2=-
| 4n |
| m+4n |
| n-1 |
| m+4n |
由OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+（2x1+1）（2x2+1）=0，5x1x2+2（x1+x2）+1=0
∴5×
| n-1 |
| m+4n |
| -4n |
| m+4n |
又由|PQ|=
| 10 |
| 11 |
∴|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=
| 100 |
| 121 |
∴（x1-x2）2+（2x1-2x2）2=
| 100 |
| 121 |
∴5（x1+x2）2-20x1x2=
| 100 |
| 121 |
| 20 |
| 121 |
由①②③可得：19n2-98n+120=0
∴n=2或n=
| 60 |
| 19 |
| 35 |
| 19 |
故所求椭圆方程为3x2+2y2=1，或
| 35x2 |
| 19 |
| 60y2 |
| 19 |
点评：本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题．
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