Question

【题目】f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.

(1)求f和f＋的值；

(2)数列{an}满足：an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，数列{an}是等差数列吗？请给予证明；

(3)令bn＝， ，证明Tn<2.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：

(1)令可得，令可得；

(2)结合(1)中的结论倒序相加可得： ，则数列是等差数列；

(3) 结合(2)的结论可得，利用放缩裂项求和可得.

试题解析：

(1)因为f＋f＝，所以2f＝，所以f＝.

令x＝，则f＋f＝f＋f＝.

(2)an＝f(0)＋f＋…f＋f(1)，

又 an＝f(1)＋f＋…f＋f(0)，

两式相加2an＝[f(0)＋f(1)]＋＋[f(1)＋f(0)]＝，

所以an＝，所以an＋1－an＝，故数列{an}是等差数列.

(3) bn＝＝，

Tn＝b＋b＋…＋b＝＋＋…＋≤1＋＋＋…＋

＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－<2.