Question

已知向量=（cosx-3，sinx），=（cosx，sinx-3），f（x）=•
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）若x∈[-π，0]，求函数f（x）的单调增区间；π
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵向量=（cosx-3，sinx），=（cosx，sinx-3），
∴f（x）=•=cos²x-3cosx+sin²x-3sinx=-3sin（x+）+1
则函数f（x）的最小正周期T=2π，
函数f（x）的最大值为3+1，最小值为-3+1，
（2）∵x∈[-π，0]，
∴x+∈[-，]
则函数f（x）的单调增区间为[-，]
（3）当x∈[，]时，x+∈[，]
f（x）∈[-3+1，-2]
若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[，]上恒成立
则m-1＜-3+1，且m+1＞-2
∴-3＜m＜-3+2
分析：（1）由已知中向量=（cosx-3，sinx），=（cosx，sinx-3），f（x）=•，代入向量数理积公式，求出函数的解析式，根据ω及A值，可确定函数的最小周期及最值；
（2）根据x∈[-π，0]，我们可以根据（1）中函数解析式求出相位角的范围，进而根据正弦型函数的单调性，得到答案．
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[，]上恒成立，我们可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．
点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，函数恒成立问题，平面向量数量积的运算，三角函数的性及其求法，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的性质，根据已知条件求出函数的解析式是解答本题的关键．