Question

已知向量

m

=(

3

sinx+cosx，1)，

n

=(cosx，-f(x))，且

m

⊥

n

，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0， 

π

2

]时，函数g(x)=a[f(x)-

1

2

]+b的最大值为3，最小值为0，试求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）根据两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质 以及三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+

π

6

）+1，令 2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，
可得函数的增区间，同理求得函数的减区间．
（2）由于g(x)=asin(2x+

π

6

)+b，当x∈[0，

π

2

]时，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，分a＞0和a＜0两种情况，分别根据函数的最值求出a、b的值，从而得出结论．

解答：解：（1）由题意可得

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos²x-f（x）=0，∴f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+1，
令 2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
同理求得函数的减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）由于g(x)=asin(2x+

π

6

)+b，当x∈[0，

π

2

]时，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
①若a＞0，则g_max（x）=a+b，gmin(x)=-

1

2

a+b．
由

a+b=3 - 1 2 a+b=0

得a=2，b=1…（10分）
②若a＜0，则gmax(x)=-

1

2

a+b，g_min（x）=a+b，
由

a+b=0 - 1 2 a+b=3

得a=-2，b=2．…（12分）
综上得，a=2，b=1，或a=-2，b=2．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域、值域、单调性，属于中档题．