题目内容

已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(
1
2
f(x)，cosx)，
m
∥
n
．
（I）求f（x）的单调增区间及在[-
π
6
，
π
4
]内的值域；
（II）已知A为△ABC的内角，若f(
A
2
)=1+
3
，a=1，b=
2
，求△ABC的面积．
分析：由
m
∥
n
，根据向量平行的坐标表示整理可求f（x）=2sin（2x+
π
6
）+1
（1）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可求函数的单调增区间，由所求函数的单调递增区间可求函数在[-
π
6
，
π
4
]单调性，进而可求函数的值域
（2）由题f（
1
2
A）=1+
3
及a＜b可求A，然后由正弦定理可得，sinB=
bsinA
a
可求B，进而可求C，代入三角形的面积公式S△ABC=
1
2
absinC可求
解答：解：∵
m
∥
n

∴(
3
sinx+cosx)cosx-
1
2
f(x)=0
∴f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x=
3
sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+
π
6
）+1
（1）令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
可得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z
∴f（x）的单调增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]k∈Z
由所求函数的单调递增区间可知，函数在[-
π
6
，
π
4
]单调递增
∴0≤f(x)≤
3
+1
（2）由题意可得，f（
1
2
A）=2sin（A+
π
6
）+1=1+
3

∴sin（A+
π
6
）=
3
2

∵A∈（0，π）
∴A+
π
6
∈(
π
6
，
7π
6
)
∴A+
π
6
=
π
3
或
2π
3

∴A=
π
6
或
π
2

∵a=1＜b=
2

∴A=
1
2
π不合题意
当A=
π
6
时，由正弦定理可得，sinB=
bsinA
a
=
2
×
1
2
1
=
2
2

∵a＜b
∴A＜B
∴B=
π
4
或
3π
4

当A=
π
6
，B=
π
4
时，C=
7π
12
，此时S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×1×
2
sin
7π
12
=
2
×
2
+
6
4
=
3
+1
2


当A=
π
6
，B=
3π
4
时，C=
π
12
，此时S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×1×
2
sin
π
12
=
2
×
6
-
2
4
=
3
-1
2
点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用，三角函数的辅助角公式及正弦函数的性质、三角形的面积公式等知识的综合应用，具有一定的 综合性
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(
3
sinx，cosx)，
n
=(cosx，cosx)，
p
=(2
3
，1)．
（1）若
m
∥
n
，求sinx•cosx的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角B的取值集合为M，当x∈M时，求函数f（x）=
m
•
n
的值域．
已知向量
m
=(
3
sinx-cosx，  1)，
n
=(cosx，  
1
2
)，若f(x)=
m
•
n
．
（1） 求函数f（x）的最小正周期；
（2） 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3， f(
C
2
+
π
12
)=
3
2
（C为锐角），2sinA=sinB，求C、a、b的值．
已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0， 
π
2
]时，函数g(x)=a[f(x)-
1
2
]+b的最大值为3，最小值为0，试求a、b的值．
（2012•安徽模拟）已知向量
m
=(
3
sinx+cosx，1)，
n
=(cosx，-f(x))，
m
⊥
n
．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）已知A为△ABC的内角，若f(
A
2
)=
1
2
+
3
2
，a=1，b=
2
，求△ABC的面积．

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