Question

已知向量

m

=(

3

sinx-cosx，1)，

n

=(cosx，

1

2

)，若f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，f(

A

2

+

π

12

)=

3

2

（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x-

π

6

），由此求得函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 已知△ABC中，由 f(

A

2

+

π

12

)=

3

2

（A为锐角），求得sinA=

3

2

，可得 A=

π

3

．由正弦定理可得b=2c，根据 a=3，再由余弦定理求出c、b的值．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=

m

•

n

=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），故函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ） 已知△ABC中，f(

A

2

+

π

12

)=

3

2

（A为锐角），∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

．
∵2sinC=sinB，∴由正弦定理可得b=2c，
∵a=3，再由余弦定理可得 9=b²+c²-2bc•cos

π

3

．
解得 b=2

3

，c=

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．