Question

设双曲线中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心率为，已知点P（0，5）到这双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线方程.

Answer 1

解：设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0).因为离心率e=.所以a=2b,所以所求双曲线方程为-x²=b².

设Q（x,y）为双曲线上一点，依题意|PQ|=.

其中y≥2b,若2b≤4,当y=4时，|PQ|_最小=2，从而5-b²=4,即b²=1,双曲线方程为-x²=1.

若2b＞4,当y=2b时，|PQ|_最小=2，

从而（2b-4）²+5-b²=4,所以b=或b=(舍)，所以双曲线方程为=1.