Question

已知数列的前项的和为， ，求证：数列为等差数列的充要条件是．

Answer 1

详见解析．

试题分析：从两个方面来证明此题：若数列为等差数列，则其前项和是关于的二次函数，且常数项为,即；若的前项和中，可根据其前项和求出通项公式，从而可以证明其为等差数列．
试题解析：证：若数列为等差数列，则其前项和，是关于的二次函数，且常数项为，而的前项和，所以；
反过来，当数列的前项和中，则，当时，，时， ，因为也符合，所以数列的通项公式为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
综上所述，数列为等差数列的充要条件是．项和公式以及充分必要条件的关系．