Question

已知数列{a_n}的首项a₁＞0，
（Ⅰ）若，请直接写出a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若，求证：{}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n对一切n∈N₊都成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，，n取1，2，即可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ），两边取倒数，可得数列{}是首项为，公比为的等比数列，由此可得{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a_n+1＞a_n对一切n∈N₊都成立，可得，又a₁＞0，即可求a₁的取值范围．
解答：（Ⅰ）解：∵，，∴=，…（2分）
（Ⅱ）证明：由题意知a_n＞0，，
∴，
∵=  …（4分）
所以数列{}是首项为，公比为的等比数列…（5分）
∴，
∴   …（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：即…（9分）
由a₁＞0，知a_n＞0，故a_n+1＞a_n，得…（11分）
即得，…（13分）
又a₁＞0，则0＜a₁＜1…（14分）
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．