Question

8．直线y=m分别与曲线y=x+1，y=elog_ax（a＞1）交于A、B两点，当|AB|的最小值为1时，a的值为（　　）

• A． e
• B． 2
• C． 3
• D． e²

Answer 1

分析 设A（x₁，m），B（x₂，m），则x₁+1=elog_ax₂，表示出x₁，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，m），B（x₂，m），则x₁+1=elog_ax₂，
∴x₁=elog_ax₂-1，
∴|AB|=x₂-x₁=x₂-elog_ax₂+1，
令y=x-elog_ax+1，则y′=1-$\frac{e}{xlna}$，
∴函数在（0，$\frac{e}{lna}$）上单调递减，在（$\frac{e}{lna}$，+∞）上单调递增，
∴x=$\frac{e}{lna}$=e时，函数的最小值为1，
∴a=e
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．