Question

（2010•茂名二模）已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视为直角三角形，俯视图为正方形．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PA上的动点．问：不论点E在PA的任何位置上，是否都有BD⊥CE？请证明你的结论？
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据三视图的数据，结合三视图的特征直接求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PA上的动点．不论点E在PA的任何位置上，都有BD⊥CE，说明BD⊥平面PAC，都有CE?平面PAC，即可．
（3）在平面DAP过点D作DF⊥PA于F，连接BF．说明∠DFB为二面角D-AP-B的平面角，在△DFB中，求二面角D-PA-B的余弦值．

解答：解：（1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2
∴VP-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}•PC=

1

3

×12×2=

2

3

．（4分）

（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE（5分）
证明：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．（6分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC（7分）
∵不论点E在何位置，都有CE?平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有BD⊥CE．（9分）

（3）在平面DAP过点D作DF⊥PA于F，
连接BF∵∠ABP=∠ADP=

π

2

，AD=AB=1，
DP=BP=

5

∴Rt△ADP≌Rt△ABP∴∠PAD=∠PAB，
又AF=AF，AB=AD
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AP．∴∠DFB为二面角D-AP-B的平面角（12分）
在Rt△ACP中，AP=

AC2+PC2

=

( 2 )2+22

=

6

故在Rt△ADP中，DF=

AD•DP

AP

=

1× 5

6

=

30

6

=BF．
又BD=

2

，在△DFB中，
由余弦定理得：cos∠BFD=

DF2+BF2-BD2

2•DF•BF

=-

1

5

．
所以二面角D-PA-B的余弦值为-

1

5

．（14分）

点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键，同时注意：空间想象能力，逻辑思维能力的培养．