Question

（2010•茂名二模）如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2 5

5

，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

Answer 1

分析：（1）根据A（0，1）是椭圆C的顶点得a值，根据离心率为

2 5

5

，求出b值，从而求椭圆C的方程；
（2）欲求双曲线E的方程，只须求出其实轴长即可，而要使双曲线E的实轴最长，只需||MF₁|-|MF₂||最大即可，根据对称性知，直线F₂F₁′与直线l的交点即为所求的点M即能使||MF₁|-|MF₂||最大，从而问题解决．

解答：解：（1）由题意可知，b=1（1分）
∵e=

c

a

=

2 5

5

即

c2

a2

=

a2-1

a2

=

4

5

∴a²=5（3分）
∴所以椭圆C的方程为：

x2

5

+y2=1（4分）
（2）设椭圆C的焦点为F₁，F₂，
则可知F₁（-2，0），F₂（2，0），
直线l方程为：x-y+1=0（6分）
因为M在双曲线E上，所以要使双曲线E的实轴最长，
只需||MF₁|-|MF₂||最大．
又∵F₁（-2，0）关于直线l：x-y+1=0的对称点为F′₁（-1，-1），
则直线F₂F₁′与直线l的交点即为所求的点M（9分）
∵直线F₂F₁′的斜率为k=

1

3

，其方程为：y=

1

3

（x-2）
∴

y= 1 3 (x-2) x-y+1=0

解得

x=- 5 2 y=- 3 2

∴M（-

5

2

，-

3

2

）（12分）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁′|-|MF₂||≤|F2F₁′|=

(2+1)2+12

=

10

∴a′max=

1

2

10

，此时b′=

1

2

6

，
故所求的双曲线方程为

x2

5 2

-

y2

3 2

=1．（14分）

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．