Question

已知P为△ABC所在平面外一点，G₁、G₂、G₃分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.

（1）求证：平面G₁G₂G₃∥平面ABC；

（2）求S_△∶S_△ABC.

Answer 1

（1）证明略（2）S_△∶S_△ABC=1∶9

解析:

（1）  如图所示，连接PG₁、PG₂、PG₃并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG₁∶PD=2∶3，

PG₂∶PE=2∶3，∴G₁G₂∥DE.

又G₁G₂不在平面ABC内，

∴G₁G₂∥平面ABC.同理G₂G₃∥平面ABC.

又因为G₁G₂∩G₂G₃=G₂，

∴平面G₁G₂G₃∥平面ABC.

（2）  由（1）知=，∴G₁G₂=DE.

又DE=AC，∴G₁G₂=AC.

同理G₂G₃=AB，G₁G₃=BC.

∴△G₁G₂G₃∽△CAB，其相似比为1∶3，

∴S_△∶S_△ABC=1∶9.