Question

3．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$，当λ=$\frac{2}{3}$时，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$有最小值为$\frac{58}{9}$．

Answer 1

分析 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．

解答 解：由题意，得到AD=BC=CD=2，
所以$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$），
=（$\overrightarrow{AB}$+$λ\overrightarrow{BC}$）（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{DC}$），
=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{DC}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$，
=4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+$\frac{1}{9λ}$×4×2+$\frac{1}{9}$×2×2×cos120°，
=$\frac{34}{7}$+2λ+$\frac{8}{9λ}$≥$\frac{38}{9}$+2×2$\sqrt{λ•\frac{4}{9λ}}$=$\frac{58}{9}$，（当且仅当λ=$\frac{2}{3}$时等号成立）．
故答案为：$\frac{2}{3}$，$\frac{58}{9}$．

点评 本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．