Question

在△ABC中，若acos2

C

2

+cos2

A

2

=

3b

2

，求证：a，b，c成等差数列．

Answer 1

∵cos2

C

2

=

1+cosC

2

，cos2

A

2

=

1+cosA

2

∴由acos2

C

2

+cos2

A

2

=

3b

2

，得a•

1+cosC

2

+c•

1+cosA

2

=

3b

2

…（4分）
由正弦定理，得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=

3

2

sinB
∴sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB…（6分）
整理，得sinA+sin（A+C）+sinC=3sinB（*）…（8分）
∵在△ABC中A+B+C=π，∴sin（A+C）=sinB…（10分）
因此，在（*）式两边消去一个sinB，得sinA+sinC=2sinB，
再由正弦定理，得a+c=2b，所以a，b，c成等差数列…（13分）