Question

在数列{a_n}中，a1=

2

3

，且对任意的n∈N₊都有an+1=

2an

an+1

．
（Ⅰ）求证：{

1

an

-1}是等比数列；
（Ⅱ）若对于任意n∈N₊都有a_n+1＜pa_n，求实数P的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由an+1=

2an

an+1

，得

1

an+1

-1=

an+1

2an

-1=

1-an

2an

=

1

2

(

1

an

-1)．
又由a1=

2

3

，得

1

a1

-1=

1

2

≠0．
∴{

1

an

-1}是以

1

a1

-1=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得

1

an

-1=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
即an=

2n

2n+1

，an+1=

2n+1

2n+1+1

．
∵a_n+1＜pa_n（n∈N₊），
∴p＞

an+1

an

=

2n+1

2n+1+1

•

2n+1

2n

=

2n+1+2

2n+1+1

=1+

1

2n+1+1

显然，当n=1时，1+

1

2n+1+1

值最大，且最大值为

6

5

．
∴实数p的取值范围为p＞

6

5

．