Question

设、分别为椭圆的左、右两个焦点.
（Ⅰ） 若椭圆C上的点到、两点的距离之和等于4, 写出椭圆C的方程和离心率.;
（Ⅱ） 若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上除M、N外的任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在, 并记为、时, 求证: ·为定值.

Answer 1

(1) ,
(2)  

试题分析：解：(Ⅰ) 根据已知条件: 2a="4," 即a=2, （1　分）
∴椭圆方程为. （　2　分）
又为椭圆C上一点, 则, （　3　分）
解得, 则 椭圆C的方程为. （　4　分）
,  （　5　分）
则椭圆C的离心率. （　6　分）
(Ⅱ) 设、是椭圆上关于原点对称点, 设, 则,
P点坐标为(x, y), 则, （　8　分）
 （　9　分）
即,  （10　　分）
 （　11　分）
 （13　　分）
点评：考查了直线与椭圆的位置关系的运用，解决的关键是利用韦达定理来求解，属于基础题。