Question

已知函数f（x）满足（其中为f（x）在点处的导数，C为常数）．
（1）求的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=[f（x）-x³]•e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调，求实数C的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的导函数，令得到关于的方程，解方程求出的值．
（2）将的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，根据表求出函数f（x）的单调区间．
（3）求出函数g（x）的导数，构造函数h（x）=-x²-3 x+C-1，分函数递增和递减两类，令h（x）≥0和≤0在[-3，2]上恒成立，求出C的范围．
解答：解：（1）由，
得．
取，得，
解之，得，
（2）因为f（x）=x³-x²-x+C．
从而，列表如下：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是．         
（3）函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+C）•e^x，
有g′（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+C）e^x=（-x²-3 x+C-1）e^x，
当函数在区间x∈[-3，2]上为单调递增时，
等价于h（x）=-x²-3 x+C-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
当函数在区间x∈[-3，2]上为单调递减时，
等价于h（x）=-x²-3 x+C-1≤0在x∈[-3，2]上恒成立，
即△=9+4（c-1）≤0，解得c≤-，
所以c的取值范围是c≥11或c≤-．
点评：求函数的单调区间及函数的极值、最值，一般列出x，f′（x），f（x）的变化情况表来解决；求函数在某区间函数单调性已知的问题，一般转化为导函数大于等于或小于等于0恒成立问题．