Question

【题目】已知圆,直线被圆所截得的弦的中点为．

（1）求直线的方程；

（2）若直线与圆相交, 求的取值范围；

（3）是否存在常数,使得直线被圆所截得的弦中点落在直线上？若存在, 求出的值；若不存在,说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）设直线的斜率为则，由题意可得圆心，又弦的中点为，可求得，由可求，从而可求直线的方程；（2）若直线：与圆相交，圆心到直线的距离小于半径，从而可求得的取值范围；（3）设直线被圆解得的弦的中点为，由直线与垂直，可得，与联立可求得，代入直线的方程，求得，验证即可．

试题解析：（1）圆方程化为标准方程：，则其圆心，半径，若设直线的斜率为，则，直线的方程为，即．

（2）圆的半径,要直线与圆相交, 则须有,于是的取值范围是．

（3）设直线被圆截得的弦的中点为,则直线与垂直, 于是有,整理可得,又点在直线上, , 由,解得,代入直线的方程, 得,于是,故存在满足条件的常数．