Question

9．如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点．
（1）求证：$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$为定值；
（2）求AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设过焦点F的直线方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$）与y²=2px联立消y得k²x²-（k²p+2p）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，再由根与系数的关系能够求出$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{（{x}_{1}+\frac{p}{2}）（{x}_{2}+\frac{p}{2}）}$=$\frac{2}{p}$．
（2）利用点差法，即可求AB的中点M的轨迹方程．

解答 （1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过焦点F的直线方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$）
与y²=2px联立消y得k²x²-（k²p+2p）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴|FA|=x₁+$\frac{p}{2}$，|FB|=x₂+$\frac{p}{2}$，
∴$\frac{1}{|FA|}$+$\frac{1}{|FB|}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{（{x}_{1}+\frac{p}{2}）（{x}_{2}+\frac{p}{2}）}$=$\frac{2}{p}$．
（2）解：设M（x，y），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减可得k_ABy=p，
∴$\frac{y}{x-\frac{p}{2}}$y=p，
∴y²=p（x-$\frac{p}{2}$）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．