Question

已知直线过定点，动点满足，动点的轨迹为.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直线与交于两点，以为切点分别作的切线，两切线交于点.

①求证：；②若直线与交于两点，求四边形面积的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 根据直线斜率互为负倒数来得到证明，当且仅当时，四边形面积的取到最小值。

【解析】

试题分析：（I）由题意知，设

化简得     3分

（Ⅱ）①设，，

由消去，得，显然.

所以， 

由，得，所以，

所以，以为切点的切线的斜率为，

所以，以为切点的切线方程为，又，

所以，以为切点的切线方程为……（1）

同理，以为切点的切线方程为……（2）

（2）-（1）并据得点的横坐标，

代入（1）易得点的纵坐标，所以点的坐标为

当时，显然

当时，，从而   8分

②由已知，显然直线的斜率不为0，由①知，所以，

则直线的方程为，

设设，，

由消去，得，显然，

所以，.

又

 

因为，所以，

所以，，

当且仅当时，四边形面积的取到最小值    13分

考点：直线与抛物线的位置关系

点评：解决的关键是借助于向量的模来表示得到轨迹方程，并联立方程组来得到弦长公式，进而得到面积的表示，属于中档题。