Question

（1）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′如图所示，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，求直角梯形以BC为旋转轴旋转一周形成的几何体的表面积．
（2）定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP、BP与α分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．

Answer 1

（1）由斜二测画法可知AB=2，BC=4，AD=2
进而DC=2

2

，
旋转后形成的几何体的表面积

S=πAB2+2πAB×AD+2πAB×CD× 1 2  =π×22+2π×2×2+2π×2×2 2 × 1 2 =(12+4 2 )π

证明：（2）设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α=O．
由题意可知，AP∩α=C，BP∩α=D，∴C∈α，D∈α．
又∵AP∩BP=P．
∴AP、BP可确定一平面β且C∈β，D∈β．
∴CD=α∩β．∴A∈β，B∈β．∴l?β．∴O∈β．∴O∈α∩β，即O∈CD．
∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．