Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC．AB=AC=l，∠BAC=120°，异面直线B₁C与A₁C₁所成的角为60°．
（I）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
（II）求二面角B₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）设AA₁=a，以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系．分别得出A、B、C、A₁、B₁、C₁、的坐标，从而得到

B1C

=（-

3

2

，

3

2

，-a），

A1C1

=（0，1，0），因为B₁C与A₁C₁所成的角为60°，利用空间两个向量夹角公式列出关于a的方程，解出a=

6

，由此不难得到三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（II）利用数量积为零的方法列方程组，从而解出平面ACB₁的一个法向量

n

=（-2

2

，0，1）．而

m

=（0，0，1）为面ACB的一个法向量，计算出向量

m

、

n

的夹角余弦值，即可得到二面角B₁-AC-B的余弦值为

1

3

．

解答：解：（Ⅰ）如图，以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系．
设AA₁=a（a＞0），依题意得
B₁（

3

2

，-

1

2

，a），A（0，0，0），C（0，1，0）．
∴

B1C

=（-

3

2

，

3

2

，-a），

A1C1

=

AC

=（0，1，0），
由异面直线B₁C与A₁C₁所成的角为60°，得
|cos＜

B1C

，

A1C1

＞|=

| B1C • A1C1 |

| B1C |•| A1C1 |

=

3

2 3+a2

=

1

2

，
解之得a=

6

．…（4分）
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为：
V=S_△ABC•AA₁=

1

2

AB•ACsin120°•AA₁=

1

2

×1×1×

3

2

×

6

=

3 2

4

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

B1C

=（-

3

2

，

3

2

，-

6

）．
设

n

=（x，y，z）为面ACB₁的一个法向量，则

n

•

AC

=0，

n

•

B1C

=0，
可得：

y=0 - 3 2 x+ 3 2 y- 6 z=0

取z=1，得x=-2

2

，于是

n

=（-2

2

，0，1）．…（9分）
又∵

m

=（0，0，1）为面ACB的一个法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m•n

|m||n|

=

1

3

，即为平面ACB与平面ACB₁所成角的余弦值．
因此，二面角B₁-AC-B的余弦值为

1

3

．…（12分）

点评：本题在直三棱柱中，根据异面直线所成角求棱柱的体积，并求二面角的余弦值，着重考查了利用空间向量研究异面直线所成角和二面的平面角等知识，属于中档题．