Question

1．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设g（x）任一点P（x₀，y₀），则其关于原点对称点P'（-x₀，-y₀）在f（x）图象上，故有-y₀=（-x₀）²+（-x₀），即y₀=-x₀²+x₀ ，从而得到函数g（x）的解析式．
（Ⅱ）h（x）=（-1-λ）x²+（1-1λ）x+1，λ=-1时，h（x）=2x+1，在[-1，1]上是增函数；λ≠-1时，根据二次函数的单调性即可求得λ的范围，合并λ=-1即得λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设g（x）任一点P（x₀，y₀），则其关于原点对称点P'（-x₀，-y₀）在f（x）图象上，
则-y₀=（-x₀）²+（-x₀），即y₀=-x₀²+x₀ ，
∴g（x）=-x²+x．
（Ⅱ）h（x）=-x²+x-λ（x²+x）+1=（-1-λ）x²+（1-λ）x+1；
即h（x）=（-1-λ）x²+（1-λ）x+1；
①若λ=-1，h（x）=2x+1，满足在[-1，1]上是增函数；
②若λ≠-1，h（x）是二次函数，对称轴为x=$\frac{1-λ}{2（1+λ）}$；
（ⅰ）当λ＜-1时，$\frac{1-λ}{2（1+λ）}$≤-1，解得-3≤λ＜-1，
（ⅱ）当λ＞-1时，$\frac{1-λ}{2（1+λ）}$≥1，解得=1＜λ≤-$\frac{1}{3}$．
综上，-3≤λ≤-$\frac{1}{3}$．

点评 本题以函数为载体，考查函数解析式的求解，考查函数的单调性，求解析式的关键是利用对称性，求得对称点坐标之间的关系．