Question

如图，在四棱锥中，底面，， ，，，点为棱的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）取中点，连接.证四边形为平行四边形可得.通过证平面，可得，又，所以；

（2）由（1）及已知可证平面平面，所以可得直线在平面内的射影必为，解三角形可得与平面所成的角的正切值为。

试题解析：（1）如图，取中点，连接.

由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.

因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.

（2）连接，由（Ⅰ）有平面，得，

而，故.

又因为，为的中点，故，从而，所以平面，

故平面平面.

所以直线在平面内的射影为直线，

而，可得为锐角，

故为直线与平面所成的角.

依题意，有，而为中点，可得，进而.

故在直角三角形中，

所以直线与平面所成的角的正切值为

考点：线线、线面、面面平行、垂直的判定与性质，求线面角。