Question

（本小题共12分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

（1）当点E为BC的中点时， 证明EF//平面PAC；

（2）求三棱锥E-PAD的体积；

（3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF．

Answer 1

（1）见解析；（2）（3）见解析．

【解析】

试题分析：（1）利用线面平行的判断定理证明线面平行归根结底是证明线线平行，关键是要注意一条直线在平面内另一条直线在平面外．（2）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．（3）证明线线垂直的方法较多，如证明线面垂直、勾股定理、余弦定理．（4）另外解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．

试题解析：（1）证明： 连结AC，EF

∵点E、F分别是边BC、PB的中点

∴中， 2分

又 3分

∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC 4分

（2）∵PA平面ABCD且

∴，，

∴中，PA =，AD=1

∴ 6分

又四边形ABCD为矩形

∴

又AD和PA是面PAD上两相交直线

∴

又AD//BC

∴AB就是三棱锥E-PAD的高． 7分

∴ ． 8分

（3）∵，PA=AB=，点F是PB的中点

∴等腰中， 9分

又，且PA和AB是平面PAB上两相交直线

∴BC平面PAB

又

∴ 10分

又PB和BC是平面PBC上两相交直线

∴ 11分

又 ∴

∴无论点E在边BC的何处，都有PEAF成立． 12分

考点：空间几何体的线线、线面关系以及体积公式．