Question

4．已知M（x₀，y₀）是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的一点，F₁，F₂是双曲线C的两个焦点，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$≤0，则M到坐标原点的距离|MO|的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 3
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，以及向量$\overrightarrow{M{F}_{1}}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的坐标，由数量积的坐标表示可得x₀²+y₀²≤25，由两点的距离公式，可得最大值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=4，b=3，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，
即有F₁（-5，0），F₂（5，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-5-x₀，-y₀），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（5-x₀，-y₀），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$≤0，即为
（-5-x₀）（5-x₀）+y₀²≤0，
即有x₀²+y₀²≤25，
则M到坐标原点的距离|MO|为：
$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$≤5，
即有最大值为5．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于基础题．