题目内容

12．某市新批保障性住房建设正在积极筹划中，有关部门已投人3200万购买了-块土地，并计划在这土地上建造一栋n（15＜n＜30）层大楼，每层总面积2000m2．现已知第一层的建筑费用为2200元/m2，并且每升高一层，建筑费用增加80元/m2．
（1）建设这栋大楼的综合费用为y万元．写出函数y=f（n）的表达式；
（2）当n为何值时，建设该大楼的每平方米的平均综合费用最低？
（注：综合费用=建设费用与购地费用之和）

分析 （1）根据条件建立函数关系即可写出函数y=f（n）的表达式
（2）利用基本不等式的性质即可求出函数的最值．

解答 解：（1）由题意知，建造第1层楼房每平方米建筑费用为2200元，
因此，建造第1层楼房建筑费用为2200×2000=440（万元），-----------------（1分）
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高80×2000=16（万元），------------------（2分）
∴建造第n层时的建筑费用为440+（n-1）×16=16n+424（万元），-------------（4分）
若建造n层，该楼房的综合费用为y=f（n）=440n+$\frac{n（n-1）}{2}×16$+3200=8n2+432n+3200，
∴y=f（n）=8n2+432n+3200（15＜n＜30，n∈N）．--------------------------------（6分）
（Ⅱ）该楼房每平方米的平均综合费用为g（n），则
g（n）=$\frac{f（n）×10000}{2000n}$=$\frac{5（8{n}^{2}+432n+3200）}{n}$=5（8n+$\frac{3200}{n}$+432）-----------（9分）
≥5（$2\sqrt{8n•\frac{3200}{n}}$+432）=3760------------------------（11分）
当且仅当8n=$\frac{3200}{n}$，即n=20时等号成立．-------------------------（12分）
∴应把楼层建成20层时平均综合费用最低．

点评 本题主要考查数列基本知识应用，考查数据处理能力和推理论证能力，利用基本不等式的性质求函数的最值是解决本题的关键．

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