Question

某单位建造一间地面面积为12米²的背面靠墙的矩形小房子,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过a米,房屋正面造价为400元/米²,房屋侧面造价为150元/米²,屋顶和地面造价费用合计5 800元,如果墙高为3米,且不计房屋背面的费用.

(1)把房屋总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域.

(2)当侧面的长度x为多少时,总造价最低?最低总造价是多少?

Answer 1

解析:(1)由题意可得y=3(2x·150+·400)+5 800=900(x+)+5 800(0＜x≤a).

(2)y=900(x+)+5 800≥900·2+5 800=13 000,

当且仅当x=,即x=4时取等号.

若a≥4,当x=4时,y有最小值13 000.

若a＜4,任取x₁、x₂∈(0,a)且x₁＜x₂,

y₁-y₂=900(x₁+)+5 800-900(x₂+)-5 800=900［(x₁-x₂)+16(-)］

=.

∵x₁＜x₂＜a,

∴x₁-x₂＜0,x₁x₂＜a²＜16.

∴y₁-y₂＞0.

∴y=900(x+)+5 800在(0,a)上是减函数.

∴当x=a时,y有最小值900(a+)+5 800.