题目内容
（2008•宝坻区一模）某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．（1）把房屋总价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
分析：（1）分别算出房子的两个侧面积乘以150再加上房子的正面面积乘以400再加上屋顶和地面的造价即为总造价；
（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式或导数即可求出函数的最小值，进而得到答案．
（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式或导数即可求出函数的最小值，进而得到答案．
解答：解：（1）由题意可得，y=3(2x×150+
×400)+5800=900(x+
)+5800(0＜x≤a)…（5分）
（2）y=900(x+
)+5800≥900×2
+5800=13000
当且仅当x=
即x=4时取等号…（7分）
若a≥4，x=4时，有最小值13000．…（8分）
若a＜4，任取x1，x2∈（0，a]且x1＜x2y1-y2=900(x1+
)+5800-900(x2+
)-5800=900[(x1-x2)+16(
-
)]=
∵x1＜x2≤a，∴x1-x2＜0，x1x 2＜a2＜16
∴y1-y2＞0
∴y=900(x+
)+5800在(0，a]上是减函数…（10分）
∴当x=a时y有最小值900(a+
)+5800…（12分）
（此题利用导数相应得分）
| 12 |
| x |
| 16 |
| x |
（2）y=900(x+
| 16 |
| x |
x×
|
当且仅当x=
| 16 |
| x |
若a≥4，x=4时，有最小值13000．…（8分）
若a＜4，任取x1，x2∈（0，a]且x1＜x2y1-y2=900(x1+
| 16 |
| x1 |
| 16 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 900(x1-x2)(x1x2-16) |
| x1x2 |
∵x1＜x2≤a，∴x1-x2＜0，x1x 2＜a2＜16
∴y1-y2＞0
∴y=900(x+
| 16 |
| x |
∴当x=a时y有最小值900(a+
| 16 |
| a |
（此题利用导数相应得分）
点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，正确构建函数是关键，属于基础题．
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