Question

（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）
设复数与复平面上点对应.
（1）设复数满足条件（其中，常数），当为奇数时，动点的轨迹为；当为偶数时，动点的轨迹为，且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程；
（2）在（1）的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）
（2）或.

（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）
解：（1）方法1：①当为奇数时，，常数，
轨迹为双曲线，其方程为；……3分
②当为偶数时，，常数，
轨迹为椭圆，其方程为；……6分
依题意得方程组解得，
因为，所以，
此时轨迹为与的方程分别是：，.……9分
方法2：依题意得……3分
轨迹为与都经过点，且点对应的复数，
代入上式得，……6分
即对应的轨迹是双曲线，方程为；
对应的轨迹是椭圆，方程为.……9分
（2）由（1）知，轨迹：，设点的坐标为，
则
，……12分
当即时，
当即时，，……16分
综上或.……18分