Question

如图是足球场的部分示意图，假设球门的宽AB=7m，A到边线的距离AC=30m．现距离边线5m处的一名运动员P沿着边线方向向底线运球，他观察球门的角∠APB称为视角．设P到底线的距离为PD=xm，tan∠APB记为y．
（1）试将y表示成x的函数；
（2）求当P离底线多少m时，该球员观察球门的视角最大？（结果保留根式）

Answer 1

分析：（1）利用差角的正切公式，结合正切函数，即可求得函数解析式；
（2）利用基本不等式，再结合正切函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，AD=25m，BD=32m，∠APB=∠DPB-∠DPA
∴y=tan∠APB=tan（∠DPB-∠DPA）=

tan∠DPB-tan∠DPA

1+tan∠DPBtan∠DPA

=

32 x - 25 x

1+ 32 x • 25 x

∴y=

7x

x2+800

(x＞0)；
（2）y=

7

x+ 800 x

≤

7

2 800

=

7 2

80

，当且仅当x=20

2

m时，取等号
∴x=20

2

m时，y=tan∠APB取得最大值
∵∠APB∈(0，

π

2

)
∴x=20

2

m时，∠APB取得最大值．

点评：本题考查函数模型的确立，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．