Question

若定义在R上的函数y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x-1），且f（0）=1，则f（2006）=

2007

．

Answer 1

分析：由y=f^-1（x-1），求出该函数的反函数，再由y=f^-1（x-1）的反函数是y=f（x+1），得到f（x+1）=f（x）+1，结合已知f（0）=1可求答案．

解答：解：由y=f^-1（x-1），得x-1=f（y），即x=f（y）+1．
∴函数y=f^-1（x-1）的反函数为y=f（x）+1．
又y=f^-1（x-1）的反函数是y=f（x+1），
∴f（x+1）=f（x）+1．
∴f（2006）=f（2005）+1=f（2004）+1+1=…=f（0）+1+1+…+1=f（0）+2006=2007．
故答案为：2007．

点评：本题主要考查反函数的知识点，解答本题的关键是从题干条件y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x+1）入手，求出y=f^-1（x+1）的反函数，由反函数相同列式求解，该题是基础题．