Question

若定义在R上的函数y=f（x）满足f(x+1)=

1

f(x)

，且当x∈（0，1]时，f（x）=x，函数g（x）=

log3x(x＞0) 2x+1(x≤0)

，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-4，4]内的零点个数为（　　）

• A、9．
• B、.7
• C、.5
• D、.4

Answer 1

分析：由f(x+1)=

1

f(x)

，得f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，由h（x）=f（x）-g（x）=0，得f（x）=g（x），根据函数的周期性作出函数f（x）与g（x）的图象，即可得到结论．

解答：解：∵f(x+1)=

1

f(x)

，
∴f（x+2）=f（x），即函数的周期为2，
∵x∈（0，1]时，f（x）=x，
∴当x∈（-1，0]时，x+1∈（0，1]，此时f（x）=

1

f(x+1)

=

1

x+1

．
作出函数f（x）与g（x）的图象如图：
由图象可知两个图象的交点个数为5个，
故函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-4，4]内的零点个数为5个，
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点的个数的判断，利用条件求出函数的周期性，根据方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．