Question

13．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=$\frac{1260}{x+1}$；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a-b$\sqrt{x}$（a，b为实常数）．
（1）求函数q（x）的表达式；
（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．

Answer 1

分析 （1）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b
（2）总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值．

解答 解：（1）由x=20和x=180时可以解得a，b
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1260}{21}=a-b\sqrt{20}}\\{a-b\sqrt{180}=0}\end{array}\right.$
∴a=90，b=3$\sqrt{5}$
∴q（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1260}{x+1}}&{0＜x≤20}\\{90-3\sqrt{5x}}&{20≤x≤180}\\{0}&{x≥180}\end{array}\right.$
（2）设总利润为W（x）
则W（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1260x}{x+1}}&{0＜x≤20}\\{90x-3x\sqrt{5x}}&{20≤x≤180}\\{0}&{x≥180}\end{array}\right.$
①当x∈（0，20]时，W（x）=1260-$\frac{1260}{x+1}$为单调递增，最大值为1200，此时x=20
②当x∈[20，180]时，W（x）=90x-3x$\sqrt{5x}$，（W（x））′=90-$\frac{9\sqrt{5}}{2}\sqrt{x}$
此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减
∴在x=80时取得最大为2400
综上所述：x=80时，总利润最大为2400元．

点评 本题考查分段函数的解析式问题，由题意知分界点处函数值相等得到a，b．总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值．