Question

数列{a_n}，前n项和S_n，满足a1=

1

2

，Sn+2an+1=1(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{nS_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知Sn+2an+1=1(n∈N*)可得，S_n-1+2a_n=1（n≥2）两式相减可得，2a_n+1与a_n的关系，结合等比数列的通项公式可求
（2）由（1）及已知可求nS_n，然后利用分组求和及错位相减求和即可求解

解答：解：（1）∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴S_n-1+2a_n=1（n≥2）
两式相减可得，S_n-S_n-1+2a_n+1-2a_n=0
即2a_n+1=a_n
∴

an+1

an

=

1

2

∵a1=

1

2

∴数列{a_n}是以

1

2

为首项以

1

2

为公比的等比数列
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
（2）：∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴Sn+2•(

1

2

)n+1=1
∴Sn=1-(

1

2

)n
∴nS_n=n-n•(

1

2

)n
令Sn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n
则

1

2

Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
两式相减可得，

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1
∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

2+n

2n

∴Tn=1-1•

1

2

+2-2•(

1

2

)2+…+n-n•(

1

2

)n
=(1+2+3+…+n)-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n]
=

n(n+1)

2

-2+

2+n

2n

点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列通项公式求解中的应用及数列求和的错位相减求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．