Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若在存在最小值，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，证明： .

Answer 1

【答案】（1）在上无最小值.（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数 求导，分情况讨论单调性，当有最小值时，求出实数的范围；（Ⅱ）本题分两部分证明，先证明 ，由（Ⅰ）的讨论容易得到，再证明 ，这是构造函数 ，求导得出函数在上为增函数，所以 ，就可证明，结合和，便可得出结论.

试题解析（Ⅰ）解： ，

令，解得： 或.

（1）当时，即，由知， ，

故在上单调递增，从而在上无最小值.

（2）当时，又，故，

当时， ，当时， ，

从而在上单调递减，在上单调递增，

从而在处取得最小值，所以时， 存在最小值.

综上所述： 在存在最小值时， 的取值范围为.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 时， 在上单调递增；

于是时， ，即时， .①

下证： ，

令，则，故，

由于，所以，从而在上单调递增，

于是，从而在上单调递增，

故，所以，②

由于，所以①②可得： ，

即： .