Question

【题目】已知椭圆（）离心率为，过点的椭圆的两条切线相互垂直.

（1）求此椭圆的方程；

（2）若存在过点的直线交椭圆于两点，使得（为右焦点），求的范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的对称性可知，两条切线斜率为，由此求得切线的方程，联立切线的方程和椭圆的方程，利用判别式等于零列一个方程，结合离心率为可求得的值.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，写出韦达定理，将坐标代入可求得直线方程两个参数的等量关系，由此求得的取值范围.

试题解析：

（1）由椭圆的对称性，不妨设在轴上方的切点为， 轴下方的切点为，则， 的直线方程为，

所以， ，则，所以方程为椭圆方程为。

（2）令的方程为， ，则，

，

， ，

=

所以有解，

所以，则或