Question

【题目】设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ= ． （Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣ ，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣ ）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，

∴cosβ= =﹣cos2α=2sin2α﹣1

∵α∈（0， ），∴sinα= ；

（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣ ，α]上单调递增，

∵α∈（0， ），sinα= ，∴cosα= ，∴tanα=2，

∴函数f（x）=tanx在[﹣ ，α]上的值域为[﹣ ，2]，

∴函数g（x）=2sin（2x﹣ ）在[0，m]上的值域为[﹣ ，2]，

∴y=sinx在[﹣ ，2m﹣ ]上的取值范围是[﹣ ，1]，

∴ ≤2m﹣ ≤ ，

∴ ≤m≤ ．

【解析】（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，利用cosβ= =﹣cos2α=2sin2α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣ ，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣ ）在[0，m]上的值域相同，得出y=sinx在[﹣ ，2m﹣ ]上的取值范围是[﹣ ，1]，即可求m的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．