Question

在椭圆+=1 （a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是，则∠ABF=    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意得c=a，解出b²=a²-c²=a²．在△ABF中分别计算出|AB|²、|BF|²和|AF|²，可得AF|²=|AB|²+|BF|²，所以△ABF是以AF为斜边的直角三角形，即∠ABF=90°．
解答：解：∵椭圆的离心率是，
∴c=a，可得|AF|=c+a=（+1）a=a．
而b²=a²-c²=a²，
∴|AB|²=|AO|²+|OB|²=a²．
因为|BF|==a，
所以|AB|²+|BF|²=a²
∵|AF|²=（a）²=a²
∴|AF|²=|AB|²+|BF|²．得△ABF是以AF为斜边的直角三角形，即∠ABF=90°．
故答案为：90°．
点评：本题给出特殊离心率的椭圆，求椭圆的上顶点对左焦点、右顶点的张角，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，属于基础题．