Question

（2012•长春模拟）已知函数f（x）=lgx和g（x）=10^x的图象与圆x²+y²=20在第一象限内的部分相交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两个点，则y12+y22=

20

．

Answer 1

分析：由f（x）与g（x）互为反函数，得到两函数图象关于y=x对称，进而得到M与N关于y=x对称，利用关于y=x对称点的坐标特点得到x₁=y₂，x₂=y₁，并根据N在圆上得到x₂²+y₂²=20，将y₁=x₂代入所求式子中，即可求出值．

解答：解：∵函数f（x）=lgx和函数g（x）=10^x互为反函数，
∴其图象关于直线y=x对称，
∴它们的图象与圆x²+y²=20在第一象限内的交点M和N也关于直线y=x对称，
∴这两个点的坐标满足x₁=y₂，x₂=y₁，
又N（x₂，y₂）在圆上，即x₂²+y₂²=20，
则y₁²+y₂²=x₂²+y₂²=20．
故答案为：20

点评：此题考查了反函数的性质，以及圆的标准方程，根据f（x）与g（x）化为反函数，得到两函数图象关于y=x对称是解本题的关键．