Question

（2012•长春模拟）选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，再利用绝对值不等式的解法去掉绝对值，结合条件得出a值；
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，令φ（n）=f（n）+f（-n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，只须m大于等于φ（n）的最小值即可，从而求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，
∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3，
∴a-3=-2，
∴a=1．（5分）
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，令φ（n）=f（n）+f（-n），
则φ（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=

2-4n，n≤- 1 2 4，- 1 2 ＜n≤ 1 2 2+4n，n＞ 1 2

∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，利用分段函数化简函数表达式是解题的关键．