Question

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）为“局部奇函数”； （2）

解析试题分析：（1）若方程有解，则说明是“局部奇函数”，否则，则说明不是“局部奇函数”。 （2）当时，可化为，用整体思想将视为整体用表示。将上式转化为的一元二次函数。根据题意可知此二次函数在其定义域上有解。
试题解析：解：（1）为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解．
当时，
由得
解得，
所以方程有解，因此为“局部奇函数”．               4分
（2）当时，可化为
．
令， 则，                         6分
从而在有解即可保证为“局部奇函数”．       8分
令，
1° 当，在有解，
由，即，解得；      10分
2° 当时，在有解等价于
解得．              13分
（说明：也可转化为的大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为．                14分
考点：1新概念问题；2指数函数的值域；3二次函数。